Question

18．已知${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則該展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-40．

Answer 1

分析 由${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32求得n=5，再由$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為2求得a=1，寫(xiě)出$（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的展開(kāi)式的通項(xiàng)，分別乘以x，$\frac{1}{x}$，再由x的指數(shù)為0求得r值，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)可求．

解答 解：由${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，得2ⁿ=32，解得n=5．
又$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)的和為2，
∴令x=1，得（a+1）•1⁵=2，得a=1．
∴$（x+\frac{a}{x}）{（2x-\frac{1}{x}）^n}$=$（x+\frac{1}{x}）（2x-\frac{1}{x}）^{5}$，
$（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的通項(xiàng)${T}_{r+1}={C}_{5}^{r}（2x）^{5-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=$（-1）^{r}•{2}^{5-r}{•C}_{5}^{r}•{x}^{5-2r}$．
∴$（x+\frac{1}{x}）（2x-\frac{1}{x}）^{5}$的展開(kāi)式中的通項(xiàng)有$（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}•{x}^{6-2r}$或$（-1）^{r}•{2}^{5-r}•{C}_{5}^{r}•{x}^{5-3r}$．
由5-3r=0，得r=$\frac{5}{3}$，不合題意；
由6-2r=0，得r=3，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為$（-1）^{3}•{2}^{2}{•C}_{5}^{3}=-40$．
故答案為：-40．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，是中檔題．