Question

【題目】已知函數(shù)。

（I）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（II）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)且，求證

Answer 1

【答案】（I）（Ⅱ）見證明

【解析】

（I）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即可求解．

（II）求得，把函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩根，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得，同時(shí)利用韋達(dá)定理，化簡得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解．

（I）由題意，函數(shù)，則，

又函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，故在上恒成立，

即在上恒成立，故在上恒成立，

設(shè)，，則

故實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（II）易知，

依題意可知在內(nèi)有兩根，且，

設(shè)，則有，

又，

由根與系數(shù)關(guān)系有，

故，

令，

則有，，

又，，故存在唯一，使得

易知當(dāng)時(shí)有，當(dāng)時(shí)有，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又，，故對，均有，

故在上單調(diào)遞減，又，，故，

即，命題得證．