Question

【題目】己知橢圓的焦距為，以橢圓C的右頂點(diǎn)A為圓心的圓與直線相交于P，Q兩點(diǎn)，且．

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓A的方程。

(II)不過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，已知直線OM，l，ON的斜率成等比數(shù)列，記以線段OM，線段ON為直徑的圓的面積分別為的值是否為定值?若是，求出此值：若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)答案見(jiàn)解析.

【解析】

分析：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則 ，所以 ，又，所以，從而易得關(guān)于a，b的方程組，即可得到所求橢圓方程和圓的方程．

（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程，消去y，根據(jù)k1、k、k2恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求出k，進(jìn)而表示出，即可得出結(jié)論．

詳解：（1）如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則 ，

因?yàn)?/span>，即 ，所以 ，

又，所以，所以 ，所以．

由已知得,所以

橢圓的方程為，

，

所以，所以，所以，

所以圓的方程為．

（2）設(shè)直線的方程為，

由，得，

所以，由題設(shè)知 ，

，

則

故為定值，該定值為．