Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．

（1）試問(wèn)和經(jīng)過(guò)不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫(xiě)出經(jīng)過(guò)“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說(shuō)明理由；

（2）求經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；

（3）證明：一定能經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義，可得不能結(jié)束，數(shù)列能結(jié)束，并可寫(xiě)出數(shù)列；（2）經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件，先證明，則經(jīng)過(guò)一次“變換”，就得到數(shù)列，從而結(jié)束，再證明命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”， 即可得解；（3）先證明引理：“將數(shù)的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中

” ，再分類(lèi)討論：第一類(lèi)是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰，（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，，第二類(lèi)是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)，證明第二類(lèi)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類(lèi)數(shù)列.

（1）數(shù)列不能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復(fù)出現(xiàn)，不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形．

數(shù)列能結(jié)束，各數(shù)列依次為；；；．

（2）解：經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．

若，則經(jīng)過(guò)一次“變換”就得到數(shù)列，從而結(jié)束．

當(dāng)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí)，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．

當(dāng)時(shí)，數(shù)列．

由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．

其它情形同理，得證．

在數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后結(jié)束時(shí)，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．

所以，數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是．

（3）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng)，其中”．

證明：記數(shù)列中最大項(xiàng)為，則．

令，，其中．

因?yàn)?/span>， 所以，

故，證畢．

現(xiàn)將數(shù)列分為兩類(lèi)．

第一類(lèi)是沒(méi)有為的項(xiàng)，或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰（規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰），此時(shí)由引理可知，．

第二類(lèi)是含有為的項(xiàng)，且與最大項(xiàng)相鄰，此時(shí)．

下面證明第二類(lèi)數(shù)列經(jīng)過(guò)有限次“變換”，一定可以得到第一類(lèi)數(shù)列．

不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為，第二項(xiàng)最大()．（其它情形同理）

①當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí)，

若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；

若，則；此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列；

若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列；

若，則；；，

此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列．

②當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí)，若()，則，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列；

若()，則，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰，為第一類(lèi)數(shù)列．

③當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí)，只能是，則，

，，此數(shù)列各項(xiàng)均不為，為第一類(lèi)數(shù)列．

總之，第二類(lèi)數(shù)列至多經(jīng)過(guò)次“變換”，就會(huì)得到第一類(lèi)數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項(xiàng)又開(kāi)始減少．

又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)，

故經(jīng)過(guò)有限次“變換”后，數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為，此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為，從而結(jié)束．