Question

設定義域R上的函數f（x）既是單調函數又是奇函數，若f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0，對一切 t∈R⁺成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）既是單調函數又是奇函數，根據函數的性質我們可將不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0恒成立，轉化為u²-（k+1）u+2＞0或u²-（k+1）u+2＜0恒成立，根據二次函數恒成立的處理方法，即可得到實數k的取值范圍．

解答：解：∵函數f（x）是奇函數，
∴f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0可化為
f（klog₂t）＞f（log₂²t-log₂t+2）
令u=log₂t，則原不等式可化為：
f（ku）＞f（u²-u+2）
∵函數f（x）是單調函數
故ku＞u²-u+2或ku＜u²-u+2恒成立
即u²-（k+1）u+2＞0或u²-（k+1）u+2＜0恒成立
由于函數g（u）=u²-（k+1）u+2
為開口方向向上的拋物線，故g（u）=u²-u+2無最大值
∴u²-（k+1）u+2＞0恒成立
即△=（k+1）²-8＜0
解得：-2

2

-1＜k＜2

2

-1

點評：本題考查的知識點是函數單調性的性質及奇函數的性質，其中利用函數的性質將問題轉化為熟悉的二次函數問題是解答本題的關鍵．