Question

設(shè)定義域R上的函數(shù)f（x）既是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù)，若f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0，對一切 t∈R⁺成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0可化為
f（klog₂t）＞f（log₂²t-log₂t+2）
令u=log₂t，則原不等式可化為：
f（ku）＞f（u²-u+2）
∵函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)
故ku＞u²-u+2或ku＜u²-u+2恒成立
即u²-（k+1）u+2＞0或u²-（k+1）u+2＜0恒成立
由于函數(shù)g（u）=u²-（k+1）u+2
為開口方向向上的拋物線，故g（u）=u²-u+2無最大值
∴u²-（k+1）u+2＞0恒成立
即△=（k+1）²-8＜0
解得：-2-1＜k＜2-1
分析：由已知中函數(shù)f（x）既是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)我們可將不等式f（klog₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0恒成立，轉(zhuǎn)化為u²-（k+1）u+2＞0或u²-（k+1）u+2＜0恒成立，根據(jù)二次函數(shù)恒成立的處理方法，即可得到實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)及奇函數(shù)的性質(zhì)，其中利用函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)問題是解答本題的關(guān)鍵．