Question

7．設(shè)Ω是由滿足下列兩個條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：①方程f（x）-x=0有實數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（0）＜1．
（1）判斷函數(shù)g（x）=$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3（x＞1）是否為集合Ω中的元素，并說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）為集合Ω中的任意一個元素，對于定義域中任意的α，β，當(dāng)|α-2015|＜1，且|β-2015|＜1時，證明：|f（α）-f（β）|＜2．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，得出g′（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2x}$，則0＜g′（x）＜1，滿足條件②，構(gòu)造函數(shù)F（x）=g（x）-x，利用代入法求出F（e）=-$\frac{e}{2}$+$\frac{5}{2}$＞0，F(xiàn)（e²）=-$\frac{{e}^{2}}{2}$+1＜0，判斷函數(shù)存在零點．
（2）利用（1）的性質(zhì)，得出f（x）為增函數(shù)，函數(shù)f（x）-x為減函數(shù)，通過變形整理證明不等式．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3（x＞1）求導(dǎo)，得出g′（x）=$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3（x＞1）；
∴g′（x）=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2x}$，則0＜g'（x）＜1，滿足條件②；
令F（x）=g（x）-x=-$\frac{x}{2}$-$\frac{lnx}{2}$+3 （x＞1），
則F（e）=-$\frac{e}{2}$+$\frac{5}{2}$＞0，F(xiàn)（e²）=-$\frac{{e}^{2}}{2}$+1＜0，
∴F（x）在（e，e²）上存在零點x₀，
即方程g（x）-x有實數(shù)根x₀∈[e，e²]，故g（x）滿足條件①，
綜上可知g（x）是集合Ω中的元素；
當(dāng)x＞1時，0＜g′（x）＜1
（2）不妨設(shè)α＜β，
∵f′（x）＞0，
∴f（x）為增函數(shù)，
∴f（α）＜f（β），又f′（x）-1＜0，
∴函數(shù)f（x）-x為減函數(shù)，
∴f（α）-α＞f（β）-β，
∴0＜f（β）-f（α）＜β-α
∴|f（β）-f（α|＜|β-α|，
∴|f（β）-f（α|=|-f（β）+f（α）|＜|β-α|=|（β-2015）-（α-2015）|≤1+1=2

點評 考察了導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性和構(gòu)造函數(shù)，通過求零點得出方程有解．難點是對性質(zhì)的綜合利用．