Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x}{16}$+$\frac{y}{9}$=1的焦點，點P在橢圓上，且∠F₁PF₂=60°，求P到x軸距離．

Answer 1

分析 通過設|PF₁|=x（0＜x＜8），利用余弦定理計算可知x=2或x=6，記P到x軸距離為d，利用$\frac{1}{2}$•|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•d計算即得結論．

解答 解：依題意，可知|F₁F₂|=2$\sqrt{16-9}$=$2\sqrt{7}$，
設|PF₁|=x（0＜x＜8），則|PF₂|=8-x，
由余弦定理可知cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}|•|P{F}_{2}|}$，
即cos60°=$\frac{{x}^{2}+（8-x）^{2}-（2\sqrt{7}）^{2}}{2x（8-x）}$，
整理得：x²-8x+12=0，
解得：x=2或x=6，
記P到x軸距離為d，則$\frac{1}{2}$•|PF₁|•|PF₂|•sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$•|F₁F₂|•d，
即$\frac{1}{2}$•2•6sin60°=$\frac{1}{2}$•$2\sqrt{7}$•d，
解得：d=$\frac{3\sqrt{21}}{7}$，
故點P到x軸距離為$\frac{3\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，涉及余弦定理、三角形面積公式等基礎知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．