【題目】德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其名命名的函數(shù)
被稱為狄利克雷函數(shù)，其中
為實數(shù)集，
為有理數(shù)集，則關于函數(shù)
有如下四個命題：①
；②函數(shù)是偶函數(shù)；③任取一個不為零的有理數(shù)
，
對任意的
恒成立；④存在三個點
，
，
，使得
為等邊三角形.其中真命題的個數(shù)有（ ）
A.1個B.2個C.3個D.4個
【答案】D
【解析】
根據(jù)所給的定義，運用分類討論的方法、取特殊值法進行逐一判斷即可.
①∵當
為有理數(shù)時，
；當為無理數(shù)時，
，
∴當為有理數(shù)時，
；
當為無理數(shù)時，
，
即不管是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有
，故①正確；
②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
∴對任意
，都有
，故②正確；
③若是有理數(shù)，則
也是有理數(shù)； 若是無理數(shù)，則也是無理數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)
，
對恒成立，故③正確；
④取
，
，
，可得
，
，
，
∴
，
，
，恰好
為等邊三角形，故④正確.
故選：D.
名校練考卷期末沖刺卷系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖在側棱垂直底面的四棱柱
中，
，
，
.
，
,
，
分別是
的中點，
為
與
的交點.
（I） 求線段
，
的長度；
（II）證明：
平面
；
（III）求
與平面所成的角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的前n項和為
，且滿足
，數(shù)列
中，
，對任意正整數(shù)
，
.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）是否存在實數(shù)
，使得數(shù)列
是等比數(shù)列？若存在，請求出實數(shù)及公比q的值，若不存在，請說明理由；
（3）求數(shù)列前n項和
.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設
為實數(shù)，已知
，
（1）若函數(shù)
，求的值；
（2）當
時，求證：函數(shù)
在
上是單調遞增函數(shù)；
（3）若對于一切
，不等式
恒成立，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知常數(shù)
，向量
， 
，經過點
，以
為方向向量的直線與經過點
，以
為方向向量的直線交于點
，其中
．
（
）求點
的軌跡方程，并指出軌跡
．
（
）若點
，當
時， 
為軌跡
上任意一點，求
的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖1，
為等邊三角形，
分別為
的中點，
為
的中點，
，將
沿折起到
的位置，使得平面
平面
，
為
的中點，如圖2．
（1）求證：
平面
；
（2）求點到平面
的距離．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線
相切.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設橢圓過右焦點
的弦為
、過原點的弦為
，若
，求證：
為定值.
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