Question

3．根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程．
（1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的漸近線，一條準線為x=$\frac{18}{5}$；
（2）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦點，實軸長為18；
（3）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1共漸近線，且過點（-3，4$\sqrt{3}$）；
（4）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}$=1有相同交點，且過點（2$\sqrt{3}$，2）．

Answer 1

分析 利用待定系數(shù)法，設出方程，求出參數(shù)，即可求雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同的漸近線，方程設為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ，一條準線為x=$\frac{9λ}{5\sqrt{λ}}$=$\frac{18}{5}$，∴λ=4，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{36}-\frac{{y}^{2}}{64}=1$；
（2）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{91}$=1有公共焦點，則c=10，實軸長為18，則a=9，∴b=$\sqrt{19}$，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{81}-\frac{{y}^{2}}{19}$=1；
（3）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1共漸近線，方程設為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=λ′，過點（-3，4$\sqrt{3}$），代入可得λ′=-2，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{32}-\frac{{x}^{2}}{18}$=1；
（4）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{7}$=1有相同焦點，方程設為$\frac{{x}^{2}}{9+m}$-$\frac{{y}^{2}}{7-m}$=1，過點（2$\sqrt{3}$，2），代入可得m=-1，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}-\frac{{y}^{2}}{8}=1$．

點評 本題考查求雙曲線的標準方程，考查待定系數(shù)法的運用，正確設出方程是關鍵．