Question

19．在極坐標系中，已知點P（2，$\frac{π}{3}$），Q為曲線ρ=cosθ上任意一點，則|PQ|的最小值為$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

Answer 1

分析 首先把點的極坐標轉化為直角坐標，進一步把極坐標方程轉化為直角坐標方程，進一步利用兩點間的距離公式求出最小值．

解答 解：點P（2，$\frac{π}{3}$），轉化為直角坐標為：（1，$\sqrt{3}$），
曲線ρ=cosθ，轉化為：ρ²=ρcosθ，
轉化為直角坐標方程為：x²+y²=x，
進一步轉化為標準形式：$（{x-\frac{1}{2}）}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{4}$
所以：圓心點P（1，$\sqrt{3}$）的距離為：d=$\sqrt{\frac{1}{4}+3}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
所以：|PQ|的最小值為：$\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$

點評 本題考查的知識要點：點的極坐標和直角坐標的互化，極坐標方程與直角坐標方程的互化，兩點間的距離公式的應用和最小值的應用．主要考查學生的應用能力．