Question

13．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b₁=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1+2_{n}}$
（1）求b₂、b₃、b₄并猜想數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想；
（3）設(shè)c_n=b_nb_n+1，求數(shù)列{c_n} 的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由b₁=1，b_n+1=$\frac{_{n}}{1+2_{n}}$，分別令n=1，2，3，即可得出，猜想b_n=$\frac{1}{2n-1}$，
（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可，
（3）先求出c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），裂項(xiàng)求和即可．

解答 解：（1）b₂=$\frac{_{1}}{1+2_{1}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，b₃=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{5}$，b₄=$\frac{\frac{1}{5}}{1+\frac{2}{5}}$=$\frac{1}{7}$，可以猜想b_n=$\frac{1}{2n-1}$
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想顯然成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N⁺）時(shí)猜想成立，
即b_k=$\frac{1}{2k-1}$，則b_k+1=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+\frac{2}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k+1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，
故當(dāng)然n=k+1時(shí)猜想成立，
由①②可知，猜想成立；
（3）c_n=b_nb_n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{2i-1}$-$\frac{1}{2i+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法、遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了猜想歸納能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．