Question

14．某地興修水利開建一條水渠，其斷面為等腰梯形，腰與水平線的夾角為60°，要求濕透周長（即斷面與水接觸的邊界長度）為定值l．問渠深h為多少時，可使水流量最大？最大水流量是多少？

Answer 1

分析 根據(jù)題意，先求腰長與上下底邊之和，進而可得面積，要使流量最大，只要求橫截面積最大即可．利用配方法可解．

解答 解：設橫截面面積為S，有條件知要使流量最大，只要求橫截面積最大即可．（1分）
∵腰長為$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$h，上下底邊之和為l-2×$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$h=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$h．（3分）
∴S=$\frac{1}{2}$h（l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$h），（0＜h＜$\frac{\sqrt{3}}{4}$l）
∴S=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$h²+$\frac{1}{2}$lh，（0＜h＜$\frac{\sqrt{3}}{4}$l）．（6分）
∴當h=$\frac{\sqrt{3}}{8}$l時，S取最大值即流量最大．（8分）

點評 本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構建，考查函數(shù)最值的求解，關鍵是構建函數(shù)模型．