Question

1．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，AA₁=3，過A₁、C₁、B三點(diǎn)的平面截去長方體的一個角后，得到如下所示的幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求幾何體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積，并畫出該幾何體的左視圖（AB平行主視圖投影所在的平面）；
（2）求異面直線BC₁與A₁D₁所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析 （1）直接利用幾何體的體積公式求解即可，畫出左視圖．
（2）說明∠C₁BC就是異面直線BC₁與A₁D₁所成的角．通過三角形求解即可．

解答 （文科）
解：（1）∵AB=BC=2，AA₁=3，
$\begin{array}{c}∴{V}_{ABCD-{A}_{1}{D}_{1}{C}_{1}}={V}_{長方體}-{V}_{三棱錐}\end{array}\right.$
=$2×2×3-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×3=10$．
左視圖如右圖所示．
（2）依據(jù)題意，有A₁D₁∥AD，AD∥BC，即A₁D₁∥BC．
∴∠C₁BC就是異面直線BC₁與A₁D₁所成的角．
又∵C₁C⊥BC，
∴$tan∠{C_1}BC=\frac{{{C_1}C}}{BC}=\frac{3}{2}$．
∴異面直線BC₁與A₁D₁所成的角是$arctan\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查幾何體的體積，異面直線所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．