Question

12．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（4，n）（n∈N^*）到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為5，則${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（　�。�

• A． -24
• B． -6
• C． 6
• D． 24

Answer 1

分析 利用拋物線的定義求出p，進(jìn)而可得n，再寫出展開實(shí)地通項(xiàng)，即可求出常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：因?yàn)閽佄锞�C：y²=2px（p＞0）上一點(diǎn)M（4，n）（n∈N^*）到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為5，
所以4+$\frac{p}{2}$=5，
所以p=2，
所以y²=4x，
M（4，n）（n∈N^*）代入可得n=4，
所以${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式的通項(xiàng)為T_r+1=${C}_{4}^{r}（2x）^{4-r}•（-\frac{1}{x}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{4}^{r}•{2}^{4-r}•{x}^{4-2r}$，
令4-2r=0，可得r=2，
所以${（2x-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為${C}_{4}^{2}•{2}^{2}$=24．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．