Question

7．已知點(diǎn)A（1，0），M（1+cos2x，1），N（2，$\sqrt{3}$sin2x+2m），x∈R，m∈R，m是常數(shù)，且y=$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，且f（x）的最小值為6，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積公式求出y，利用輔助角公式即可求y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出2x-$\frac{π}{3}$的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)利用f（x）的最小值為6，建立方程關(guān)系即可求m的值．

解答 解：（1）∵A（1，0），M（1+cos2x，1），N（2，$\sqrt{3}$sin2x+2m），
∴$\overrightarrow{AM}$=（cos2x，1），$\overrightarrow{AN}$=（1，$\sqrt{3}$sin2x+2m），
則y=$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=（cos2x，1）•（1，$\sqrt{3}$sin2x+2m）=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+2m
=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2m，
即y=f（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）+2m；
（2）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
則2x∈[0，π]，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，
則當(dāng)2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值為6，
則2cos（-$\frac{π}{3}$）+2m=2×$\frac{1}{2}$+2m=1+2m=6，
則2m=5，解得m=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值，利用向量的數(shù)量積公式結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．