Question

【題目】如圖，已知圓，點(diǎn)是圓內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為橢圓.

（1）分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，若，求的面積；

（2）如圖，若橢圓，橢圓（，且），則稱橢圓是橢圓的倍相似橢圓.已知是橢圓的倍相似橢圓，若橢圓的任意一條切線交橢圓于兩點(diǎn)、，試求弦長(zhǎng)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1);(2) .

【解析】

(1)根據(jù)線段中垂線的性質(zhì)，可求出的方程為，由橢圓的定義可知，結(jié)合已知條件可求出，又，結(jié)合余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，進(jìn)而可求出三角形的面積.

(2)當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可求出；若斜率存在，設(shè)方程為，與聯(lián)立可知，即；與聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式可求出，從而可求出弦長(zhǎng)的取值范圍.

(1)解：由題意知，圓心，半徑，且，

設(shè)橢圓的方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由橢圓的定義可知，，

解得，所以，所以的方程為.

因?yàn)?/span>為橢圓上任意一點(diǎn)，所以，由，可知

，又因?yàn)?/span>，由余弦定理知，

，所以，

則的面積為.

(2)由(1)知，的方程為，即.設(shè).

①若切線垂直于軸，其方程為，不妨設(shè)為，則 ，解得，

所以此時(shí)，；同理對(duì)于切線為時(shí)，求出.

②若切線不垂直于軸，設(shè)其方程為，，整理得

，則，即()；

切線與聯(lián)立得，整理得，

所以，則

.

因?yàn)?/span>，所以，從而.

綜上所述，的取值范圍為.