Question

【題目】已知圓，動圓與圓外切，且與直線相切，該動圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程

（2）過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)A的切線與交于點(diǎn)N，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4.

【解析】

（1）先設(shè)，動圓半徑為，根據(jù)題意，列出等量關(guān)系，化簡整理，即可得出曲線方程；

（2）設(shè)，依題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理，以及弦長公式，表示出，再表示出過點(diǎn)點(diǎn)的切線方程，求出點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，以及三角形面積公式，得到，即可得出結(jié)果.

（1）設(shè)，動圓半徑為，因?yàn)閯訄A與圓外切，

所以，

又動圓與直線相切，所以由題意可得：，

即，即，整理得：；

所以拋物線的方程為.

（2）設(shè)，依題意可知，直線的斜率存在，

故設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)立消去可得，.

則.

所以

.

由，得，

所以過點(diǎn)的切線方程為， 又，

所以切線方程可化為.令，可得,

所以點(diǎn),

所以點(diǎn)到直線的距離，

所以，當(dāng)時，等號成立

所以面積的最小值為4.