Question

17．證明：$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析 利用數學歸納法證明即可．

解答 證明：下面用數學歸納法來證明：
（1）先證明：$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$；
①當n=1時，命題顯然成立；
②假設當n=k（k≥2）時，有$\frac{1}{2k+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$，
則$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$＞$\frac{1}{2k+1}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$=$\frac{1}{2（k+1）}$，
即當n=k+1時，命題也成立；
由①、②可知$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$；
（2）再證明：$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$；
①當n=1時，命題顯然成立；
②假設當n=k（k≥2）時，有$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
則$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2k-1}{2k}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$＜$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$•$\frac{2k+1}{2（k+1）}$
=$\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+2}$
＜$\frac{\sqrt{2k+1}}{2k+1}$
=$\frac{1}{\sqrt{2k+1}}$，
即當n=k+1時，命題也成立；
由①、②可知$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$；
綜上所述，$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$•$\frac{3}{4}$•$\frac{5}{6}$•…•$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．

點評 本題考查不等式的證明，利用數學歸納法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．