Question

9．已知函敵f（x）=ax²+bx|x|+cx+d，（x∈R）其中a、b、c、d是常數(shù)
（1）若f（0）=0，試問f（x）是否-定是奇函數(shù)，證明你的結(jié)論；
（2）若a=2，b=1，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）已知當(dāng)x≥0時(shí)，y=f（x）的圖象可由y=2x（x≥0）的圖象向上平移而得到．x∈[一1，0]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對(duì)稱．試求出函數(shù)y=f（x）（x∈R）的單調(diào)增減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=0，可得d=0，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義，可證明結(jié)論；
（2）當(dāng)a=2，b=1時(shí)，f（x）=2x²+x|x|+cx+d，分類討論可得函數(shù)的值域；
（3）根據(jù)當(dāng)x≥0時(shí)，y=f（x）的圖象可由y=2x（x≥0）的圖象向上平移而得到．x∈[一1，0]時(shí)，函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對(duì)稱．可求出a，b，c的值，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，可得答案．

解答 解：（1）f（0）=0，可得d=0，
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．
理由：當(dāng)a=0時(shí)，f（-x）=-bx|-x|-cx=-（bx|x|+cx）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)；
當(dāng)a≠0時(shí)，f（-x）=ax²-bx|x|-cx≠f（x），且f（-x）≠-f（x），
則f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）f（x）=2x²+x|x|+cx+d，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=3x²+cx+d，此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸是x=$-\frac{c}{6}$，
若c≥0時(shí)，對(duì)稱軸為x=-$\frac{c}{6}$≤0，函數(shù)在[0，+∞）遞增，此時(shí)f（x）∈[d，+∞）；
若c＜0時(shí)，對(duì)稱軸為x=-$\frac{c}{6}$＞0，[0，-$\frac{c}{6}$）遞減，（-$\frac{c}{6}$，+∞）遞增，此時(shí)f（x）∈[d-$\frac{{c}^{2}}{12}$，+∞）；
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+cx+d，此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸是x=$-\frac{c}{2}$，
若c≥0時(shí)，對(duì)稱軸為x=$-\frac{c}{2}$≤0，（-∞，$-\frac{c}{2}$]遞減，[$-\frac{c}{2}$，0）遞增，此時(shí)f（x）∈[d-$\frac{{c}^{2}}{4}$，+∞）；
若c＜0時(shí)，對(duì)稱軸為x=$-\frac{c}{2}$＞0，函數(shù)在（-∞，0）遞減，此時(shí)f（x）∈[d，+∞）；
綜上所述，c≥0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇d-$\frac{{c}^{2}}{4}$，+∞）；c＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇d-$\frac{{c}^{2}}{12}$，+∞）；
（3）∵當(dāng)x≥0時(shí)，y=f（x）=（a+b）x²+cx+d的圖象可由y=2x（x≥0）的圖象向上平移而得到．
∴a+b=0，c=2，
此時(shí)y=f（x）=2x+d為增函數(shù)；
又∵x∈[-1，0]時(shí)，函數(shù)y=f（x）=（a-b）x²+2x+d的圖象關(guān)于直線x=-$\frac{1}{2}$對(duì)稱．
故x=$-\frac{1}{a-b}$=-$\frac{1}{2}$，
故x＜0時(shí)，（x）=2x²+2x+d，
此時(shí)函數(shù)在（-∞，$-\frac{1}{2}$]上為減函數(shù)，在[-$\frac{1}{2}$，0）上為增函數(shù)，
綜上所述，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增減區(qū)間為（-∞，$-\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．