Question

已知橢圓：，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于A，B兩點(diǎn)。
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；
（2）求的取值范圍；
（3）將表示為的函數(shù)，并求的最大值．

Answer 1

（1）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為；（2）；（3）．當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為2．

解析試題分析：（1）由已知及，，關(guān)系可得的值，從而得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．由離心率計(jì)算公式可求得橢圓的離心率；（2）過點(diǎn)能作圓的切線，則此點(diǎn)在圓上或圓外，由此可得的取值范圍；（3）先考慮過點(diǎn)所作的圓的切線斜率不存在的情形，即先求和時(shí)的長；再考慮時(shí)的情形．設(shè)切線的方程為，代入橢圓方程消去得關(guān)于的一元二次方程：，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，利用韋達(dá)定理可得及的值，代入弦長公式，可得弦長的表達(dá)式，利用圓的切線性質(zhì)消去，得弦長關(guān)于的函數(shù)，最后利用均值不等式可求得的最大值．
試題解析：（1）由已知可得．所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為離心率為；                                 4分
（2）由題意知，，即；                    6分
（3）當(dāng)時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時(shí)．
當(dāng)時(shí)，同理可得                            8分
當(dāng)時(shí)，設(shè)切線的方程為，由；
設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則；    10分
又由與圓                 11分
．
．，且當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為2．                                      15分
考點(diǎn)：1．求橢圓離心率；2．圓的切線；．3．直線和橢圓的相交弦長的計(jì)算；4．均值不等式的應(yīng)用．