Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=7，a₅+a₇=26，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（Ⅰ）求a_n及S_n；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₃=7，a₅+a₇=26，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解出利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．