Question

植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米．開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊．使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為（　　）米．

• A、1800
• B、2000
• C、2200
• D、2400

Answer 1

考點：等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)在第n顆樹旁放置所有樹苗，利用等差數(shù)列求和公式，得出領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和f（n）的表達式，再利用二次函數(shù)求最值的公式，求出這個最值．

解答： 解：記公路一側(cè)所植的樹依次記為第1顆、第2顆、第3顆、…、第20顆，
設(shè)在第n顆樹旁放置所有樹苗，領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和為f（n） （n為正整數(shù)），
則

1

2

f（n）=[10+20+…+10（n-1）]+[10+20+…+10（20-n）]
=10[1+2+…+（n-1）]+10[1+2+…+（20-n）]
=5（n²-n）+5（20-n）（21-n）
=5（n²-n）+5（n²-41n+420）
=10n²-210n+2100，
∴f（n）=20（n²-21n+210），相應(yīng)的二次函數(shù)圖象關(guān)于n=10.5對稱，
結(jié)合n為整數(shù)，可得當(dāng)n=10或11時，f（n）的最小值為2000米．
故答案為：2000

點評：本題考查等差數(shù)列求和公式，根據(jù)題意建立函數(shù)模型，再用二次函數(shù)來解題，屬于常見題型．