Question

2．在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上有兩個動點M、N，K（2，0）為定點，若$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{KN}$=0，則$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{NM}$的最小值為$\frac{23}{3}$．

Answer 1

分析 M在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，可設(shè)M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），則$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•（$\overrightarrow{KM}$-$\overrightarrow{KN}$）=$\overrightarrow{KM}$²-$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{KN}$=$\overrightarrow{KM}$²，運(yùn)用兩點的距離公式，配方運(yùn)用余弦函數(shù)的值域，即可得到所求最小值．

解答 解：M在橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上，可設(shè)M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），
則$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{KM}$•（$\overrightarrow{KM}$-$\overrightarrow{KN}$）=$\overrightarrow{KM}$²-$\overrightarrow{KM}$$•\overrightarrow{KN}$=$\overrightarrow{KM}$²，
由K（2，0），可得$\overrightarrow{KM}$²=|$\overrightarrow{KM}$|²=（6cosα-2）²+（3sinα）²
=27cos²α-24cosα+13
=27（cosα-$\frac{4}{9}$）²+$\frac{23}{3}$，
當(dāng)cosα=$\frac{4}{9}$時，$\overrightarrow{KM}$²取得最小值$\frac{23}{3}$，
故答案為：$\frac{23}{3}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，考查橢圓的參數(shù)方程的運(yùn)用，同時考查余弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．