Question

11．已知曲線y=e^x+a與y=（x-1）²恰好存在兩條公切線，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，2ln2-3）．

Answer 1

分析 分別求出導數(shù)，設出切點，得到切線的斜率，再由兩點的斜率公式，結合切點滿足曲線方程，可得m=$\frac{s+3}{2}$（s＞1），則有a=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），令f（s）=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），運用導數(shù)求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到a的范圍．

解答 解：y=（x-1）²的導數(shù)y′=2（x-1），y=e^x+a的導數(shù)為y′=e^x+a，
設與曲線y=e^x+a相切的切點為（m，n），y=（x-1）²相切的切點為（s，t），
則有公共切線斜率為2（s-1）=e^m+a=$\frac{t-n}{s-m}$，
又t=（s-1）²，n=e^m+a，
即有2（s-1）=$\frac{（s-1）^{2}-{e}^{m+a}}{s-m}$=$\frac{（s-1）^{2}-2（s-1）}{s-m}$
即為s-m=$\frac{s-1}{2}$-1，
即有m=$\frac{s+3}{2}$（s＞1），
則有e^m+a=2（s-1），即為a=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），
令f（s）=ln2（s-1）-$\frac{s+3}{2}$（s＞1），
則f′（s）=$\frac{1}{s-1}$-$\frac{1}{2}$，
當s＞3時，f′（s）＜0，f（s）遞減，
當1＜s＜3時，f′（s）＞0，f（s）遞增．
即有s=3處f（s）取得極大值，也為最大值，且為2ln2-3，
由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，
可得a的范圍是a＜2ln2-3．
故答案為：（-∞，2ln2-3）．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，主要考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查運算能力，屬于中檔題．