Question

【題目】已知，是的中點(diǎn)．

（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；

（2）若是線段上任意一點(diǎn)，且，求的最小值；

（3）若點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，且，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）根據(jù)向量數(shù)量積等于，可得，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量加法、減法以及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求向量的夾角.

（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解.

（3）設(shè)，可得，利用向量的數(shù)量積可得，，再將平方，根據(jù)向量數(shù)量積定義以及基本不等式即可求解.

（1）因為，所以，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

令，則，

所以，

設(shè)向量，與向量的夾角為，

，

（2）因為，所以，

以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

因為，則，

設(shè)

，

當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是．

（3）設(shè)，

，

同理：，

當(dāng)且僅當(dāng)時，所以．