Question

已知F₁、F₂分別為橢圓C：(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),且離心率為，點(diǎn)橢圓C上。

 (1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在斜率為k的直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，使直線與的傾斜角互補(bǔ)，且直線是否恒過定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

 解：(1) 由已知得：，，結(jié)合，可解得：     ，

由已知直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ),

得    

化簡,得      

 

整理得 

直線MN的方程為,

    因此直線MN過定點(diǎn),該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)

【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件可得出兩個關(guān)于的方程，結(jié)合，解得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一個關(guān)于的一元二次方程，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理得出坐標(biāo)的關(guān)系，然后利用直線F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，列出直線的斜率和截距的等式，化簡即可得結(jié)論。