Question

20．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+2．求證：{a_n+1-2a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析 S_n+1=4a_n+2，a₁=1，當(dāng)n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=S_n+1-S_n，變形為a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），即可證明；

解答 證明：∵S_n+1=4a_n+2，a₁=1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，1+a₂=4×1+2，解得a₂=5；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=S_n+1-S_n=4a_n+2-（4a_n-1+2），
化為a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
∴數(shù)列：{a_n+1-2a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₂-2a₁=3，公比為2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵．