Question

已知雙曲線

x2

9

-

y2

b

=1，過其右焦點F的直線（斜率存在）交雙曲線于P、Q兩點，PQ的垂直平分線交x軸于點M，且

|MF|

|PQ|

=

5

6

，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A、

  6

  5

• B、

  8

  5

• C、

  5

  4

• D、

  5

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：依題意，不妨設(shè)過其右焦點F的直線的斜率為1，利用弦長公式可求得可求得|PQ|，繼而可求得PQ的垂直平分線方程，令x=0可求得點M的橫坐標(biāo)，從而使問題解決．

解答： 解：∵雙曲線

x2

9

-

y2

b

=1，
∴其右焦點F（c，0），不妨設(shè)過其右焦點F的直線的斜率為1，
依題意，直線PQ的方程為：y=x-c．
代入雙曲線方程，得：（b-9）x²+18cx+9c²-9b=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁，x₂為方程（b-9）x²+18cx+9c²-9b=0的兩根，
∴x₁+x₂=-

18c

b-9

，y₁+y₂=（x₁+c）+（x₂+c）=x₁+x₂-2c=

2bc

9-b

，
又x₁x₂=

9c2-9b

b-9

，則弦長|PQ|=

1+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

( 18c b-9 )2- 36c2-36b b-9

①
∴線段PQ的中點N（

9c

9-b

，

bc

9-b

），
∴PQ的垂直平分線方程為y-

bc

9-b

=-（x-

9c

9-b

），
令y=0得：x=

9c+bc

9-b

．又右焦點F（c，0），
∴|MF|=|c-

9c+bc

9-b

|=|

2bc

9-b

|．②
由于

|MF|

|PQ|

=

5

6

，則由①②解得，

c

b

=

5

16

，
又c²=9+b，解得，c=5，
則雙曲線的離心率e=

c

a

=

5

3

．
故選D．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查直線與圓錐曲線的相交問題，考查韋達定理的應(yīng)用與直線方程的求法，綜合性強，具有一定的運算量．