Question

【題目】無線電技術在航海中有很廣泛的應用，無線電波可以作為各種信息的載體．現(xiàn)有一艘航行中的輪船需要與陸地上的基站進行通信，其連續(xù)向基站拍發(fā)若干次呼叫信號，每次呼叫信號被基站收到的概率都是0.2，基站收到呼叫信號后立即向輪船拍發(fā)回答信號，回答信號一定能被輪船收到．

（Ⅰ）若要保證基站收到信號的概率大于0.99，求輪船至少要拍發(fā)多少次呼叫信號．

（Ⅱ）設（Ⅰ）中求得的結果為．若輪船第一次拍發(fā)呼叫信號后，每隔5秒鐘拍發(fā)下一次，直到收到回答信號為止，已知該輪船最多拍發(fā)次呼叫信號，且無線電信號在輪船與基站之間一個來回需要16秒，設輪船停止拍發(fā)時，一共拍發(fā)了次呼叫信號，求的數(shù)學期望（結果精確到0.01）．

參考數(shù)據(jù)：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）21次（Ⅱ）7.91

【解析】

（Ⅰ）設“輪船拍發(fā)次呼叫信號，基站至少收到1次信號”為事件，則，因而可知其對立事件滿足，根據(jù)獨立事件概率公式即可得及的值，即可做出判斷.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，根據(jù)拍發(fā)間隔時間及信號在輪船與基站之間一個來回時間可得停止拍發(fā)時輪船一共拍發(fā)了次呼叫信號，進而可得隨機變量的分布列，根據(jù)數(shù)學期望公式，結合錯位相減法即可得解.

（1）設“輪船拍發(fā)次呼叫信號，基站至少收到1次信號”為事件，則其對立事件表示“輪船拍發(fā)次呼叫信號，基站收到0次信號”，其中為正整數(shù)．

要使，則需．

由題可知．

因為，

而，

又因為，所以，即輪船至少要拍發(fā)21次呼叫信號．

（Ⅱ）若第1次呼叫信號就被基站收到，則輪船16秒后會收到回答信號從而停止拍發(fā)，16秒內(nèi)輪船會繼續(xù)拍發(fā)3次，即一共拍發(fā)了4次呼叫信號；

若前次呼叫信號都沒有被基站收到，第次呼叫信號被基站收到，與上面同理，停止拍發(fā)時輪船一共拍發(fā)了次呼叫信號；

若前17次呼叫信號都沒有被基站收到，輪船會拍發(fā)21次后停止，

所以隨機變量的分布列如下：

	4	5	6	…	19	20	21
	0.2			…

所以

，

所以．

，

兩式相減得

所以．