Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，當(dāng)時，對任意，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，；當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，沒有單調(diào)減區(qū)間；（2）.

【解析】

（1）先求函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得或，當(dāng)時，分，討論即可得到答案；

（2）當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

從而在上的最小值為，由題意得，即，令，求新函數(shù)的最大值即可得實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域為，

，

由，得或.

當(dāng)即時，由得，

由得或；

當(dāng)即時，當(dāng)時都有；

當(dāng)時，單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，；

當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間是，沒有單調(diào)減區(qū)間.

（2）當(dāng)時，由（1）知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

從而在上的最小值為.

對任意，存在，使得，

即存在，使的值不超過在區(qū)間上的最小值.

由，.

令，則當(dāng)時，.

，

當(dāng)時；當(dāng)時，，.

故在上單調(diào)遞減，

從而，

從而.