Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+1}$+a，g（x）=aln x-x（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)a＞0時(shí)，對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f （x₂）成立，其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出f（x）的范圍，通過(guò)討論a的范圍得到g（x）的單調(diào)區(qū)間，求出g（x）的最大值，證明結(jié)論即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f （x）的定義域?yàn)镽，f′（x）=$\frac{a（1-x2）}{（x2+1）2}$=$\frac{a（1-x）（1+x）}{（x2+1）2}$，
當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f （x）	↘		↗		↘

當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f （x）	↗		↘		↗

綜上所述，
當(dāng)a＞0時(shí)，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a＞0時(shí)，f （x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，f （x）＞f （0）=a；
f （x）在區(qū)間（1，e]上單調(diào)遞減，且f （e）=$\frac{ae}{{e}^{2}+1}$+a＞a，所以當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，f （x）＞a，
因?yàn)間（x）=aln x-x，所以g′（x）=$\frac{a}{x}$-1，令g′（x）=0，得x=a．
①當(dāng)a≥e時(shí)，g′（x）≥0在區(qū)間（0，e]上恒成立，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞增，所以g（x）_max=g（e）=a-e＜a．
所以對(duì)于任意x₁，x₂∈（0，e]，仍有g(shù)（x₁）＜f（x₂）．　　　　　　　　　　　　　　　
②當(dāng)0＜a＜e時(shí)，由g′（x）＞0，得0＜x＜a；由g′（x）＜0，得e≥x＞a，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞減．
所以g（x）_max=g（a）=aln a-a；
因?yàn)閍-（aln a-a）=a（2-ln a）＞a（2-ln e）=a＞0，
所以對(duì)任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f （x₂）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．