Question

已知函數(shù)是奇函數(shù)，定義域為區(qū)間D（使表達式有意義的實數(shù)x 的集合）．

（1）求實數(shù)m的值，并寫出區(qū)間D；（2）若底數(shù)a＞1，試判斷函數(shù)y=f（x）在定義域D內的單調性，并說明理由；

（3）當x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底數(shù)）時，函數(shù)值組成的集合為[1，+∞），求實數(shù)a、b的值．

Answer 1

解（1）∵y=f（x）是奇函數(shù)，∴對任意x∈D，有f（x）+f（﹣x）=0，即．（2分）化簡此式，得（m²﹣1）x²﹣（2m﹣1）²+1=0．又此方程有無窮多解（D是區(qū)間），必有，解得m=1．（4分）∴．（5分）

（2）當a＞1時，函數(shù)上是單調減函數(shù)．理由：令．

易知1+x在D=（﹣1，1）上是隨x增大而增大，在D=（﹣1，1）上是隨x增大而減小，（6分）

故在D=（﹣1，1）上是隨x增大而減�。�（8分）

于是，當a＞1時，函數(shù)上是單調減函數(shù)．（10分）

（3）∵A=[a，b）⊆D，∴0＜a＜1，a＜b≤1．（11分）

∴依據(jù)（2）的道理，當0＜a＜1時，函數(shù)上是增函數(shù)，（12分）

即，解得．（14分）

若b＜1，則f（x）在A上的函數(shù)值組成的集合為，不滿足函數(shù)值組成的集合是[1，+∞）的要求．（也可利用函數(shù)的變化趨勢分析，得出b=1）∴必有b=1．（16分）因此，所求實數(shù)a、b的值是．