Question

為了保護(hù)環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵(lì)下，進(jìn)行技術(shù)改進(jìn)：把二氧化碳轉(zhuǎn)化為某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測(cè)算，該處理成本（萬元）與處理量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為：

，且每處理一噸二氧化碳可得價(jià)值為20萬元的某種化工產(chǎn)品.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷該技術(shù)改進(jìn)能否獲利？如果能獲利，求出最大利潤；如果不能獲利，則國家至少需要補(bǔ)貼多少萬元，該工廠才不會(huì)虧損？

（2）當(dāng)處理量為多少噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少？并求出該最少處理成本.

Answer 1

【解析】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)該工廠獲利為，則，

所以當(dāng)時(shí)，，因此，該工廠不會(huì)獲利，所以國家至少需要補(bǔ)貼700萬元，該工廠才不會(huì)虧損；

（2）由題意可知，二氧化碳的每噸平均處理成本為

1）當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?sub>，所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值.

2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，因?yàn)?sub>，所以當(dāng)處理量為噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少.

答：（1）該工廠不會(huì)獲利，國家至少需要補(bǔ)貼700萬元，該工廠才不會(huì)虧損；

（2）當(dāng)處理量為噸時(shí)，每噸的平均處理成本最少，且最少處理成本為每噸40萬元.