Question

【題目】在如圖三棱錐A－BCD中，BD⊥CD，E，F分別為棱BC，CD上的點(diǎn)，且BD∥平面AEF，AE⊥平面BCD．

（1）求證：平面AEF⊥平面ACD；

（2）若，為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

(1)證明,進(jìn)而可得即可證明平面AEF⊥平面ACD

(2) 分別以為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,再根據(jù)構(gòu)造的直角三角形的關(guān)系求得每邊的長(zhǎng)度,再利用空間向量求解線面夾角即可.

解：（1）證明：因?yàn)?/span>,,

所以,因?yàn)?/span>,所以．

又因?yàn)?/span>,,

所以,而,

所以,又,

所以．

（2）解：設(shè)直線與平面所成交的余弦值為．

連接,在中,,,

,所以,且,,

又因?yàn)?/span>,,,

所以,．在中,,,所以．

如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,各點(diǎn)坐標(biāo)為,,,,

因?yàn)?/span>,為的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn),即,

設(shè)平面的法向量,

,,

由,即,

整理得,令,得,,則．

因?yàn)?/span>,所以,

故直線與平面所成交的正弦值為．