Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為棱中點(diǎn)，底面是邊長為2的正方形，為正三角形，平面與棱交于點(diǎn)，平面與平面交于直線，且平面平面.

（1）求證：；

（2）求四棱錐的表面積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1)根據(jù)直線與平面平行的判定定理得面,根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理得,同理,再根據(jù)平行公理4可證,

(2)利用三角形的面積公式和直角梯形的面積公式計(jì)算五個面的面積再相加即可得到答案.

解：（1）如圖所示:

∵為正方形，∴，

∵面，面，∴面.

∵為中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn)，∴面面，

∴.

同理，∴.

（2）由（1）知，

又∵，∴，

又∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)，且，

又∵正三角形，且邊長為2，∴，，，

∴.

∵為正方形，∴，

又∵面面，面面，

∴面，

又∵面，∴.

又∵，∴為直角梯形，

∴.

∵面，面，∴.

∴.

同理，

∴，

∵，∴，

同理，

又∵，∴，

又∵為中點(diǎn)，∴.

∴四棱錐的表面積.