Question

已知：拋物線y²=4x的焦點為F，定點P（3，1），
（1）M為拋物線y²=4x上一動點，求|MP|+|MF|的最小值．
（2）過點P作一條斜率等于2的直線交拋物線于A、B兩點，求△AOB的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合平面幾何知識可得當M的縱坐標為1時，PM所在直線與準線垂直，此時|MP|+|MF|取得最小值為4．
（2）由題意，直線AB方程為y=2x-5，與y²=4x消去x得：4x²-24x+25=0．再用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，算出|AB|=

55

；利用點到直線的距離公式算出點O到直線AB的距離，即可求出△AOB的面積．

解答：解（1）由拋物線的定義，得MF長等于點M到拋物線y²=4x的準線x=-1的距離，
設(shè)點P到直線x=-1的距離為h，
∴|MP|+|MF|≥h，
又∵h=x_P-（-1）=3+1=4，
∴|MP|+|MF|的最小值為4．
（2）由題意，得直線AB的方程為y-1=2（x-3），即y=2x-5，
代入y²=4x得：4x²-24x+25=0
設(shè)交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=6.25
可得|AB|=

1+22

|x₁-x₂|=

1+22

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

55

又∵點O到直線AB的距離d=

5

22+(-1)2

=

5

∴△AOB的面積S_△AOB=

1

2

|AB|d=

1

2

×

55

×

5

=

5 11

2

．

點評：本題求拋物線中距離和的最小值，并求焦點弦AB與原點構(gòu)成的△AOB面積．著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質(zhì)、直線與拋物線位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．