Question

3．在△ABC中，∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，則|$\overrightarrow{BC}$|的最小值是 （　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 2$\sqrt{3}$
• D． 12

Answer 1

分析 設(shè)|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b，|$\overrightarrow{BC}$|=a，則根據(jù)數(shù)量積的定義算出|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=2，即bc=4．由余弦定理得a²=b²+c²+bc，結(jié)合基本不等式b²+c²≥2bc，可得a的最小值．

解答 解：∵∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2，
∴|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos120°=-2，解之得|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|=4．
設(shè)|$\overrightarrow{AB}$|=c，|$\overrightarrow{AC}$|=b，|$\overrightarrow{BC}$|=a，則bc=4
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccos120°=b²+c²+bc
∵b²+c²≥2bc，當且僅當b=c時取得最小值．
∴a²=b²+c²+bc≥3bc=12，可得a的最小值為2$\sqrt{3}$
即|$\overrightarrow{BC}$|的最小值為$2\sqrt{3}$
故選：C．

點評 本題給出△ABC兩邊b、c的夾角，且在已知 $\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-2的情況下求邊a的最小值，著重考查了向量數(shù)量積的公式、余弦定理和用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．