Question

11．球O是四面體ABCD的外接球（即四面體的頂點均在球面上），若DB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，DB=AB=2，則球O的表面積為9π．

Answer 1

分析 構造長方體，則長方體的外接球和四面體的外接球是相同的，由長方體的體對角線等于球的直徑2R可求得2R=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=3，從而求得R的值，即可求得球O的表面積．

解答 解：∵DB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC=1，DB=AB=2，
∴構造長方體，則長方體的外接球和四面體的外接球是相同的，
則長方體的體對角線等于球的直徑2R，
則2R=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}$=3，
∴R=$\frac{3}{2}$，
則球O的表面積為4πR²=4π×（$\frac{3}{2}$）²=9π，
故答案是：9π．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，球內(nèi)接多面體，根據(jù)已知構造一個長方體是解題的關鍵，屬于中檔題．