Question

(本題滿分13分) 如圖，是離心率為的橢圓,

：()的左、右焦點(diǎn)，直線：將線段分成兩段，其長度之比為1 : 3．設(shè)是上的兩個(gè)動點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，線段的中垂線與交于兩點(diǎn)．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)，使以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在兩點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為，理由見解析

【解析】

試題分析：(Ⅰ) 設(shè)，則＝，所以＝1．

因?yàn)殡x心率e＝，所以＝．

所以橢圓C的方程為．                                                       ……5分

 (Ⅱ) 當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，直線方程為＝－，

此時(shí)(，0)、(,0) ，．不合題意；                            ……7分

當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)(－，) (≠0)，直線的斜率為，

．

由  得＝0，則，

故．此時(shí)，直線斜率為，的直線方程為．

即．

聯(lián)立 消去，整理得．

所以，．                                            ……10分

由題意0，于是

                       =0．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040209043609378303/SYS201304020905118281241994_DA.files/image002.png">在橢圓內(nèi)，符合條件；

綜上，存在兩點(diǎn)符合條件，坐標(biāo)為．                                ……13分

考點(diǎn)：本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和直線與橢圓位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用以及向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評：設(shè)直線方程時(shí)，要考慮到直線方程斜率是否存在；對于探究性問題，可以先假設(shè)存在，再進(jìn)行計(jì)算，如果能求出來，就說明存在，如果求不出來或者得出矛盾，則說明不存在.