Question

14．如圖，在底面是菱形的四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，$SB=SD=2\sqrt{2}$．
（1）證明：BD⊥平面SAC；
（2）問：側(cè)棱SD上是否存在點E，使得SB∥平面ACE？請證明你的結(jié)論；若存在點E，求出ES的長度．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四棱錐S-ABCD底面是菱形，得到BD⊥AC且AD=AB，又SA²+AB²=SB²，SA²+AD²=SD²，根據(jù)三邊滿足勾股定理可知SA⊥AB，SA⊥AD，又AB∩AD=A，根據(jù)線面垂直的判定定理可知SA⊥平面ABCD，而BD?平面ABCD，從而SA⊥BD，又SA∩AC=A，滿足定理條件，BD⊥平面SAC；
（2）在側(cè)棱SD上存在點E，使得SB∥平面ACE，其中E為SD的中點，然后證明，設BD∩AC=O，則O為BD的中點，又E為SD的中點，連接OE，則OE為△SBD的中位線，則OE∥SB，又OE?平面AEC，SB?平面AEC，根據(jù)線面平行的判定定理可知SB∥平面ACE．

解答 解：（1）∵四棱錐S-ABCD底面是菱形，
∴BD⊥AC且AD=AB，
又SA=AB=2，SB=SD=2$\sqrt{2}$．
∴SA²+AB²=SB²，
SA²+AD²=SD²∴SA⊥AB，SA⊥AD，
又AB∩AD=A，
∴SA⊥平面ABCD，
BD?平面ABCD，從而SA⊥BD，
又SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC．
（2）在側(cè)棱SD上存在點E，使得SB∥平面ACE，其中E為SD的中點，
證明：設BD∩AC=O，則O為BD的中點，
又E為SD的中點，連接OE，
則OE為△SBD的中位線．
∴OE∥SB，
又OE?平面AEC，SB?平面AEC，
∴SB∥平面ACE．
∴ES=$\frac{1}{2}$SD=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及直線與平面平行的判定，同時考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于中檔題．