Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成角為45°，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）

【解析】

（1）根據題意及幾何關系，由線線垂直推證線面垂直即可；

（2）建立空間直角坐標系，求得兩個平面的法向量，用向量法求解即可.

（1）由平面，

平面，平面

得.

又，

平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以.

又，∴,

平面,平面

故平面.

（2）由（1）可知，又，

所以.

又平面，所以為在平面內的射影，

故，所以，

由（1）可知，兩兩垂直，

如圖，以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，

所在直線為軸，建立空間直角坐標系.

則

所以

設為平面的法向量，

則即，

可取，

設為平面的法向量，

則，即，

可取，

故

因為二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為.