Question

為了加強環(huán)保建設，提高社會效益和經濟效益，長沙市計劃用若干時間更換5000輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動力型車，今年初投入了電力型公交車128輛，混合動力型公交車400輛：計劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入a輛．
（1）求經過n年，該市被更換的公交車總數S（n）；
（2）若該市計劃5年內完成全部更換，求a的最小值．

Answer 1

解：（1）設a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數量，
依題意，{a_n}是首項為128，公比為1+50%=1.5的等比數列，{b_n}是首項為400，公差為a的等差數列，
∴{a_n}的前n項和S_n=256（1.5ⁿ-1），{b_n}的前n項和T_n=400n+a
所以經過n年，該市更換的公交車總數為：S（n）=S_n+T_n=256（1.5ⁿ-1）+400n+a；
（2）若計劃5年內完成全部更換，所以S（7）≥5000
所以256（1.5ⁿ-1）+400n+a=256（1.5⁵-1）+400×5+10a≥5000
因為a∈N^*，所以a≥132
所以a的最小值為132．
分析：（1）設a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數量，依題意，{a_n}是首項為128，公比為1+50%=1.5的等比數列，{b_n}是首項為400，公差為a的等差數列，利用數列的求和公式，可求經過n年，該市被更換的公交車總數；
（2）利用（1）中的S（n），建立不等式，即可求得a的最小值．
點評：本題考查數列的綜合應用，考查數列模型的建立，考查解不等式，解題時要認真審題，挖掘數量間的相互關系，合理地建立方程，仔細求解．