Question

【題目】設函數(shù)，，．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當時，討論函數(shù)與圖像的交點個數(shù)．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析;(2)1個.

【解析】試題分析: （Ⅰ）對函數(shù)求導,根據(jù)導函數(shù)大于0和小于0,求其增減區(qū)間即可; （Ⅱ）構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)研究其圖象特征,即可求得函數(shù)的零點即所要求的函數(shù)圖象的交點.

試題解析:（Ⅰ）函數(shù)的定義域為．

，

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增．

綜上，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）令，，問題等價于求函數(shù)的零點個數(shù)，

，

當時，，函數(shù)為減函數(shù)，

注意到，，∴有唯一零點 .

當時，或時，；時，，

∴ 函數(shù)在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

注意到，，∴有唯一零點．

綜上，函數(shù)有唯一零點，即兩函數(shù)圖象總有一個交點．