Question

13．若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 8
• C． $2\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)得b=-（a²-3lna），d=c+2；從而得（a-c）²+（b-d）²=（a-c）²+（3lna-a²-（c+2））²表示了點(diǎn)（a，3lna-a²）與點(diǎn)（c，c+2）的距離的平方；作函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解．

解答 解：∵（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b=-（a²-3lna），d=c+2；
∴（a-c）²+（b-d）²=（a-c）²+（3lna-a²-（c+2））²，
其表示了點(diǎn)（a，3lna-a²）與點(diǎn)（c，c+2）的距離的平方；
作函數(shù)y=3lnx-x²與函數(shù)y=x+2的圖象如下，

∵（3lnx-x²）′=$\frac{3}{x}$-2x=$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$；
故令$\frac{3-2{x}^{2}}{x}$=1得，x=1；
故切點(diǎn)為（1，-1）；
結(jié)合圖象可知，
切點(diǎn)到直線y=x+2的距離為$\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$；
故（a-c）²+（b-d）²的最小值為8；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的圖象的作法及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于中檔題．