Question

18．已知等差數列{a_n}的公差d≠0，首項a₁=4，且a₁，a₅，a₁₃依次成等比數列，則該數列的通項公式a_n=n+3，數列$\{{2^{a_n}}\}$的前6項和為1008．

Answer 1

分析 根據等比中項的性質和等差數列的通項公式列出方程，求出公差d，再求出通項公式a_n，再有等比數列的前n項和公式求出數列$\{{2^{a_n}}\}$的前6項和．

解答 解：因為a₁=4，且a₁，a₅，a₁₃依次成等比數列，
所以${{a}_{5}}^{2}={a}_{1}{a}_{13}$，則（4+4d）²=4（4+12d），
解得d=1或d=0，
又等差數列{a_n}的公差d≠0，則d=1，
所以a_n=4+n-1=n+3，
則數列$\{{2^{a_n}}\}$的前6項和S=${2}^{{a}_{1}}$+${2}^{{a}_{2}}+…+{2}^{{a}_{6}}$
=2⁴+2⁵+…+2⁹=$\frac{{2}^{4}（1-{2}^{6}）}{1-2}$=1008，
故答案為：n+3；1008．

點評 本題考查了等比中項的性質，等差數列的通項公式，以及等比數列的前n項和公式，屬于中檔題．