Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²十bx+c，下列結論中正確的是③④．（填上所有正確結論的序號）
①若f′（x₀）=0，則f（x₀）=0；
②函數(shù)y=f（x）的圖象是軸對稱圖形；
③f（x）可能是單調(diào)函數(shù)；
④?x₀∈R，使得f（x₀）=0．

Answer 1

分析 ①根據(jù)極值點的定義以及函數(shù)的定義進行判斷．
②根據(jù)函數(shù)的奇偶性進行判斷．
③根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性進行判斷．
④判斷函數(shù)的值域為R，進行判斷．

解答 解：①∵f′（x₀）=0，
∴x₀是f（x）的極值點，
∴根據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)知f（x₀）=0不一定成立，故①不正確；
②∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f（-x）=-x³+ax²-x+c≠-f（x）≠-f（x），
∴f（x）為非奇非偶函數(shù)，
∴f（x）不是軸對稱圖形，故②不正確；
③f′（x）=3x²+2ax+b，
當△=4a²-12b≤0時，f′（x）≥0恒成立，故f（x）單調(diào)遞增函數(shù)，故③正確；
④∵函數(shù)f（x）的值域為R，
∴?x₀∈R，使f（x₀）=0，故④正確．
故正確的是③④，
故答案為：③④．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查導函數(shù)與極值的應用，要求熟練掌握三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題