Question

13．若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），F(xiàn)₁是橢圓5x²+9y²=45的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF₁|的最大值為（　　）

• A． $6-\sqrt{2}$
• B． $6+\sqrt{2}$
• C． $5+\sqrt{2}$
• D． $7+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a=3，|PF₁|+|PF₂|=2a=6，|PF₁|=6-|PF₂|，所以|PF₁|+|PA|=6-|PF₂|+|PA|=6+（|PA|-|PF₂|），由此結(jié)合圖象能求出|PF₁|+|PA|的最大值．

解答 解：橢圓5x²+9y²=45即為$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，
可得a=3，b=$\sqrt{5}$，c=2，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=6，
那么|PF₁|=6-|PF₂|，
所以|PF₁|+|PA|=6-|PF₂|+|PA|
=6+（|PA|-|PF₂|）
根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，
當(dāng)點(diǎn)P位于P₂時(shí)，|PA|-|PF₂|的差最大，
此時(shí)F₂與A點(diǎn)連線交橢圓于P₂，
易得|AF₂|=$\sqrt{2}$，
此時(shí)，|PF₁|+|PA|也得到最大值，其值為6+$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的大定義、方程和性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合法以及定義法的合理運(yùn)用．