Question

已知f（x）=e^x（x²+mx+1-2m），其中m∈R．
（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求證：對(duì)任意m∈R，函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m的值，使得y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=1時(shí)，求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，即可求函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）解法1：求導(dǎo)函數(shù)，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程，取兩個(gè)特殊點(diǎn)，即可得出結(jié)論；解法2：切線(xiàn)方程（m-1）x+y+2m-1=0可化為m（x+2）-（x-y+1）=0，可得結(jié)論；
（Ⅲ）解法1：求導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，分類(lèi)討論，分別研究判別式，可得要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿(mǎn)足f（x₂）≤0即y₁≤0有解，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；解法2：要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿(mǎn)足f（x₂）≤0，建立不等式，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=e^x（x²+x-1），f'（x）=e^x（x²+3x）
令f′（x）＞0，得x＞0或x＜-3
∴函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-3），（0，+∞）…（4分）
（Ⅱ）解法1：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]f（0）=1-m，f'（0）=1-2m
函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y-（1-2m）=（1-m）（x-0）
即（m-1）x+y+2m-1=0
令m=0，則有x-y+1=0…①
令m=1，則有y=-1…②
由①②，解得

x=-2 y=-1

經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)（-2，-1）滿(mǎn)足直線(xiàn)的方程（m-1）x+y+2m-1=0
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程（m-1）x+y+2m-1=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，-1）．…（9分）
解法2：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]f（0）=1-m，f'（0）=1-2m
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為y-（1-2m）=（1-m）（x-0）
即（m-1）x+y+2m-1=0
方程（m-1）x+y+2m-1=0可化為m（x+2）-（x-y+1）=0
當(dāng)

x+2=0 x-y+1=0

即

x=-2 y=-1

時(shí)，對(duì)任意m∈R，（m-1）x+y+2m-1=0恒成立
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程（m-1）x+y+2m-1=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，-1）．…（9分）
（Ⅲ）解法1：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]
令y1=x2+mx+1-2m，y2=x2+(m+2)x+(1-m)，
△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4，△2=(m+2)2-4(1-m)=m2+8m
①當(dāng)△₂≤0即-8≤m≤0時(shí)，y=x²+（m+2）x+（1-m）≥0
∴f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]≥0
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值．…（11分）
②當(dāng)△₂＞0即m＜-8或m＞0時(shí)，設(shè)方程x²+（m+2）x+（1-m）=0的兩根為x₁，x₂f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）＞0，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞
∴要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿(mǎn)足f（x₂）≤0即y₁≤0有解
∴△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4≥0，解得m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

綜上可得，m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

…（14分）
解法2：f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]
令y1=x2+mx+1-2m，y2=x2+(m+2)x+(1-m)，
△1=m2-4(1-2m)=m2+8m-4，△2=(m+2)2-4(1-m)=m2+8m
①當(dāng)△₂≤0即-8≤m≤0時(shí)，y=x²+（m+2）x+（1-m）≥0
∴f'（x）=e^x[x²+（m+2）x+（1-m）]≥0
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增
∴y=f（x）在（-∞，+∞）上不存在最大值和最小值．…（11分）
②當(dāng)△₂＞0即m＜-8或m＞0時(shí)，設(shè)方程x²+（m+2）x+（1-m）=0的兩根為x₁，x₂x1=

-(m+2)- m2+8m

2

，x2=

-(m+2)+ m2+8m

2

f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）＞0，f（x）→0；當(dāng)x→+∞時(shí)，f（x）→+∞
∴要使y=f（x）在（-∞，+∞）上有最大值或最小值，只需滿(mǎn)足f（x₂）≤0f(x2)=x22+mx2+1-2m=[x22+(m+2)x2+(1-m)]-2x2-m=-m-2x2≤0
∴-2×

-(m+2)+ m2+8m

2

-m=m+2-

m2+8m

-m≤0
化簡(jiǎn)，得m²+8m-4≥0
解得m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

綜上可得，m≤-4-2

5

或m≥-4+2

5

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．