Question

12．過圓x²+y²=r²內(nèi)部一點(diǎn)M（a，b）作動(dòng)弦AB過A，B分別作圓的切線，設(shè)兩條切線的交點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P恒在一條直線上運(yùn)動(dòng)．

Answer 1

分析 先求出過A，B的圓的切線方程，利用P為兩切線的交點(diǎn)，可得A、B在直線l：x₀x+y₀y=r²上，代入M（a，b），即可證明結(jié)論．

解答 證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
∴切線l_A：x₁x+y₁y=r²，l_B：x₂x+y₂y=r²，
∵P為兩切線的交點(diǎn)（P在兩切線上），
∴x₁x₀+y₁y₀=r²，x₂x₀+y₂y₀=r²，
∴A、B在直線l：x₀x+y₀y=r²上，即直線AB為l：x₀x+y₀y=r²，
∵M(jìn)在AB上，
∴代入M（a，b）得ax₀+by₀=r²，
∴P恒在l：ax+by=r²上

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓的切線方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．